Egyetemi, főiskolai tankönyv, jegyzet

Tartalom Előszó A fejezetek egymásra épülése I. Az ítéletkalkulus elemei II. Halmazok, leképezések III. Relációk, gráfok IV. Összeszámlálási alapfeladatok V. Műveletek, műveleti tulajdonságok VI. Komplex számok VII. Euklideszi gyűrűk, egyértelmű irreducibilis felbontás VIII. Számelméleti kongruenciák IX. Polinomok X. Absztrakt algebrai konstrukciók XI. Félcsoportok XII. Csoportok XIII. Gyűrűk, testek XIV. A predikátumkalkulus elemei; levezetés XV. Gráfok XVI. Halmazok számossága Irodalom Jelölések Fogalmak, elnevezések

Bevezetés iii 1.Konvex burok 1 1.1.Pontrendszerek konvex burka 1 1.2.Pontrendszerek átmérője 5 1.3.Erdős-Szekeres probléma 9 Feladatok 15 2.Szakaszok metszéspontjai 17 2.1.Síkgráfok 17 2.2.Metsző szakaszok 21 2.3.Diszjunkt szakaszok 24 Feladatok 27 3.Sokszögek triangulációja 29 3.1.Képtár probléma 29 3.2.Egyszerű sokszögek triangulációja 31 Feladatok 40 4.Pontrendszerek triangulációja 41 4.1.Pontrendszerek különböző triangulációi 41 4.2.Delaunay trianguláció 47 Feladatok 59 5.Illeszkedési problémák 61 5.1.Pontrendszerek összekötő egyenesei 61 5.2.Pontok és egyenesek közötti illeszkedések 66 5.3.Pontrendszerek pontjai közötti távolságok 70 5.4.Pontrendszerek felező egyenesei 75 Feladatok 79 6.Egyenesek elrendezései 81 6.1.Egyenesekkel előállított síkfelbontások 81 6.2.Dualitás 88 Feladatok 90 Irodalomjegyzék 93

Tartalom 1. Összeszámlálási alapfeladatok 2. Komplex számok 3. Vektorok 3D-ben 4. Determinánsok 5. Mátrixok 6. Vektorterek 7. Lineáris egyenletrendszerek 8. Lineáris leképezések, lineáris transzformációk 9. Sajátérték, sajátvektor 10. Lineáris funkcionálok, duális tér 11. Bilineáris funkcionálok, ortogonalitás 12. Euklidészi terek Függelék Név- és tárgymutató Irodalomjegyzék

Előszó i Feladatok 1 1. Alapműveletek 1 2. Ekvivalencia 9 3. A megszámlálható és kontinuum számosság 11 4. Rendezett halmazok és rendtípusok 19 5. Rendszámok 27 6. Számosságok 35 7. Végtelen kombinatorika 39 8. Kiválasztási axióma 47 9. Kontinuum hipotézis 51 10. Vegyes feladatok 55 Útmutatások 59 11. Alapműveletek 59 12. Ekvivalencia 63 13. A megszámlálható és kontinuum számosság 65 14. Rendezett halmazok és rendtípusok 73 15. Rendszámok 81 16. Számosságok 87 17. Végtelen kombinatorika 91 18. Kiválasztási axióma 103 19. Kontinuum hipotézis 107 20. Vegyes feladatok 111 Jelölések 117 Fogalmak 119 Megjegyzések 123 Irodalomjegyzék 127 Név és tárgymutató 129

Tartalomjegyzék Bevezetés v 1.Műveletek kifejezésekkel 1 1.1.Racionális kifejezések 1 1.2.Irracionális kifejezések 5 2.Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek 9 2.1.Elsőfokú egyenletek 9 2.2.Elsőfokú egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek 10 3.Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek 13 3.1.Másodfokú egyenletek 13 3.2.Másodfokú egyenletrendszerek 15 3.3.Másodfokú egyenlőtlenségek 15 3.4.Szöveges másodfokú egyenletek 16 3.5.Speciális harmadfokú, negyedfokú egyenletek 17 3.6.A polinom- és törtfüggvények ábrázolásáról 18 4.Abszolútérték, előjel, egészrész, törtrész 21 5.Négyzetgyökös egyenletek, egyenlőtlenségek 23 5.1.Négyzetgyökös egyenletek 23 5.2.Négyzetgyökös egyenletrendszerek 25 5.3.Négyzetgyökös egyenlőtlenségek 25 6.Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek 27 6.1.Exponenciális egyenletek 27 6.2.Szöveges feladatok 28 6.3.Exponenciális egyenletrendszerek 29 6.4.Exponenciális függvények, egyenlőtlenségek 29 7.Logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek 31 7.1.A logaritmus fogalma, azonosságai 31 7.2.Logaritmusos egyenletek 32 7.3.Logaritmusos egyenletrendszerek 33 7.4.Logaritmusos függvények, egyenlőtlenségek 33 7.5.Szöveges feladatok 34 7.6.Vegyes exponenciális és logaritmusos feladatok 34 7.8.Egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek 35 8.Trigonometrikus egyenletek egyenlőtlenségek 37 8.1.Szögfüggvények definíciói, összefüggéseik 37 8.2.Összegzési képletek és alkalmazásaik 39 8.3.Trigonometrikus egyenletek 40 8.4.Trigonometrikus egyenletrendszerek 41 8.5.Trigonometrikus függvények, egyenlőtlenségek 42 8.6.Vegyes exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus feladatok 42 8.7. Egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek 43 9.Elemi síkgeometria 45 9.1.Párhuzamos szelők és szelőszakaszok 45 9.2.A háromszög és a kör elemi tulajdonságai 45 9.3.A derékszögű háromszög 47 9.4.Szögfüggvények, inverzeik, szinusztétel, koszinusztétel 51 9.5.Középponti és kerületi szögek. Húr- és érintőnégyszögek 53 9.6.Mozgásos feladatok 55 10.Nevezetes sokszögek, síkidomok kerülete és területe 57 10.1.Háromszögek 58 10.2.Sokszögek 59 10.3.Kör és részei 61 11.Nevezetes poliéderek és mértani testek felszíne, térfogata 65 11.1.Poliéder élei, átlói 66 11.2.Beírt, körülírt gömb 67 11.3.Gömbök érintése 68 11.4.Felszín és térfogat 68 12.Koordinátageometria, transzformációk 73 12.1.Vektor 74 12.2.Egyenes 75 12.3.Kör 76 12.4.Transzformációk 77 13.Sorozatok 81 13.1.Számtani sorozatok 81 13.2.Mértani sorozatok 82 13.3.Vegyes feladatok 83 13.4.Százalékszámítás 84 14.Összeszámlálási feladatok 87 14.1.Sorrend 87 14.2.Kiválasztás, kiosztás 88 14.3.Vegyes feladatok 90 15.Eredmények, megoldások 93

* Játékelmélet * Azonosságok és egyenletek * Egyenlőtlenségek * Geometria * Valószínűségszámítás * Az analízis alapfogalmainak néhány alkalmazása

Tartalomjegyzék Előszó a magyar kiadáshoz A szerzők előszava Útmutató a könyvhöz 1. A konvex alakzatokról általában 2. Helly tétele és alkalmazásai 3. A folytonos függvények egy nevezetes tulajdonsága 4. Konvex alakzatok és görbék összeadása 5. Az izoperiometrikus feladat 6. Szélsőérték-feladatok 7. Állandó szélességű görbék 8. Az egyenlő oldalú háromszögben forgatható görbék és rokonaik Függelék Megoldások Irodalom

Előszó i 1. Kamatszámítás 1 1.1. Az egyszerű kamat 1 1.2. Kamatos kamat éves kamatozással, diszkontálás 2 1.3. Kamatszámítás tört időszakra 3 1.4. Kamatos kamat évközi kamatozással 4 1.5. Folytonos kamatozás, a kamaterősség 6 2. Járadékszámítás 7 2.1. Állandó tagú éves járadékok 7 2.2. Járadékok felvásárlása, végtelen járadékok 8 2.3. Változó tagú éves járadékok 9 2.4. Évközi részletekben esedékes állandó tagú járadékok 11 3. Kölcsöntörlesztés 15 3.1. Kölcsöntörlesztés éves részletekben 15 3.2. Kölcsöntörlesztés évközi részletekben 21 4. A biztosítási díj számításának alapelvei 25 4.1. A biztosítással kapcsolatos alapfogalmak 25 4.1.1. Mi a biztosítás? 25 4.1.2. A biztosításban résztvevő felek 26 4.1.3. A biztosítás fontosabb típusai 26 4.2. Halandósági táblák 27 4.3. Halálozási valószínűségek meghatározása 28 4.4. Statisztikai várható érték és szórás. Várható élettartamok és élettartamok szórásának meghatározása29 4.5. Elérési biztosítások 32 4.6. Haláleseti biztosítások 33 4.7. Életjáradék biztosítások 33 4.8. Fix lejáratú életbiztosítások 34 4.9. Két személyre szóló elérési biztosítások 35 4.10. Két személyre szóló haláleseti biztosítások 38 4.11. Két személyre szóló életjáradék biztosítások 40 4.12. Díjtartalék 42 5. Feladatgyűjtemény 45 5.1. Az egyszerű kamat 45 5.2. Kamatos kamat éves kamatozással, diszkontálás 47 5.3. Kamatszámítás tört időszakra 48 5.4. Kamatos kamat évközi kamatozással 49 5.5. Folytonos kamatozás, a kamaterősség 51 5.6. Állandó tagú éves járadékok 51 5.7. Járadékok felvásárlása, végtelen járadékok 53 5.8. Változó tagú éves járadékok 54 5.9. Évközi részletekben esedékes állandó tagú járadékok 55 5.10. Kölcsöntörlesztés éves részletekben 56 5.11. Kölcsöntörlesztés évközi részletekben 57 5.12. Halálozási valószínűségek meghatározása 58 5.13. Elérési biztosítások 61 5.14. Haláleseti biztosítások 62 5.15. Életjáradék biztosítások 63 5.16. Fix lejáratú életbiztosítások 64 5.17. Két személyre szóló elérési biztosítások 64 5.18. Két személyre szóló haláleseti biztosítások 65 5.19. Két személyre szóló életjáradék biztosítások 67 5.20. Díjtartalék 68 Függelék 73 Magyarország férfinépességének halandósági táblája az 1998. évre 73 Jelölések 77 Irodalom 79

Előszó 1 1.Bevezetés 3 1.1.A nemlineáris programozás története 3 2.A nemlineáris programozási feladat 7 2.1.Néhány általános észrevétel és extrém példa 10 2.2.Az NLP-feladatok megoldásának nehézsége 14 2.3.Differenciálszámítás nélkül is megoldható NLP-feladatok 15 2.4.NLP-feladatok megoldása az Excel Solver segítségével 21 2.5.Gyakorló feladatok 24 3.Feltétel nélküli optimalizálás analízisbeli megoldása 25 3.1.Egyváltozós feltétel nélküli NLP-feladatok 25 3.2.Többváltozós feltétel nélküli NLP-feladatok 31 3.3.Gyakorló feladatok 38 4.Konvex halmazok és függvények az optimalizálásban 41 4.1.Konvex halmazok 41 4.2.Konvex függvények 44 4.3.Szükséges és elégséges feltételek a konvexitásra 48 4.4.Nevezetes egyenlőtlenségek és a konvexitás 53 4.5.Kvázikonvex függvények 57 4.6.Gyakorló feladatok 60 5.Iteratív eljárások feltétel nélküli feladatokra 61 5.1.Direkt kereső eljárások 61 5.2.Egyenesmenti keresés 63 5.3.A gradiens és a konjugált gradiens módszer 72 5.4.A Newton-módszer és a kvázi-Newton eljárások 79 5.5.Gyakorló feladatok 87 6.A legkisebb négyzetek módszere 89 6.1.A paraméter becslési feladat 89 6.2.A Gauss-Newton módszer 93 6.3.A Levenberg-Marquardt módszer 95 6.4.Gyakorló feladatok 96 7.Feltételes optimalizálás 97 7.1.Egyenlőség-feltételes optimalizálás: a Lagrange-féle multiplikátoros módszer 97 7.2.Egyenlőtlenség-feltételes optimalizálás: a Karush-Kuhn-Tucker optimalitási feltételek 100 7.3.A KKT-feltételek az általános NLP-feladatra 107 7.4.Büntetőfüggvény módszerek 108 7.5.Gyakorló feladatok 109 8.NLP-feladatok megoldása a MATLAB segítségével 111 8.1.Egyváltozós függvény minimalizálása adott intervallumban: az fminbnd eljárás 111 8.2.Többváltozós függvény minimalizálása: az fminsearch és az fminunc eljárások 114 8.3.Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek megoldása: az fzero és fsolve eljárások 116 8.4.Legkisebb négyzetek módszerének alkalmazása: az lsqnonlin eljárás 118 8.5.Kvadratikus programozási feladat megoldása: a quadprog eljárás 119 8.6.Feltételes NLP-feladatok megoldása: az fmincon eljárás 120 8.7.Gyakorló feladatok 122 9.Egy rövid esettanulmány: körpakolás a négyzetben 125 9.1.Gyakorló feladatok 130 10.Útmutatások és megoldások a gyakorló feladatokhoz 131 Irodalomjegyzék 137 Tárgymutató 139

Előszó iii A magyar matematika és számítástechnika forrása és éltető ereje Kalmár László (Tóth Béla) 1 Egy nagy matematikaprofesszor dicsérete (Vekerdi László) 17 Szemelvények a számítástechnika szegedi történetéből (Nem típusos visszaemlékezés Kalmár László akadémikusra) (Muszka Dániel) 31 Centenáriumi megemlékezések 39 Kalmár László (1905--1976) (Csákány Béla) 39 Kalmár László matematikai munkásságáról (Ádám András) 47 Kalmár László számítástechnikai munkássága (Makay Árpád) 50 Kalmár László és Péter Rózsa – matematikusok a filozófiáról (Máté András) 56 ,,Kalmár László aspiránsa voltam...” (Hajnal András) 71 Kalmár László, a tanár (Bohus Mihály) 72 Kalmár László és a vaskohászati alkalmazások (Sántáné-Tóth Edit) 74 ,,Laci bácsi -- Erzsike néni” (Szubjektív emlékképek Kalmár Lászlóról és feleségéről) (Simoncsics Péter) 78 Képek Kalmár László életéből 86 A levelek 91 Aczél János (1924--) 93 Aczél Jánossal folytatott levelezés [322-388] 96 Fenyő István (1917--1987) 155 Fenyő Istvánnal folytatott levelezés [389-406] 158 Gyires Béla (1909--2001) 173 Gyires Bélával folytatott levelezés [407-426] 176 Hajós György (1912--1972) 193 Hajós Györggyel folytatott levelezés [427-433] 198 Lakatos Imre (1922--1974) 205 Lakatos Imrével folytatott levelezés [434-461] 208 Lázár Dezső (1913--1942) 243 Lázár Dezső levelei [462-464] 246 Neumann János (1903--1957) 251 Neumann János levele [465] 254 Radó Tibor (1895--1965) 255 Radó Tiborral folytatott levelezés [466-470] 258 Surányi János (1918--2006) 269 Surányi Jánossal folytatott levelezés [471-542] 272 Szénássy Barna (1913--1995) 369 Szénássy Barnával folytatott levelezés [543-556] 372 Szőkefalvi-Nagy Béla (1913--1998) 383 Szőkefalvi-Nagy Bélával folytatott levelezés [557-565] 386 Vincze István (1912--1999) 391 Vincze Istvánnal folytatott levelezés [566-575] 394 Függelék 401 A pedagógus a számítógépek korában (Beszélgetés Kalmár László akadémikussal) 401 Ki rejtőzik a mór álszakáll mögött? (Válogatás Kalmár László feljegyzéseiből) 407 Kalmár-legendárium 412 Névmutató 421

Előszó 1. Titkosírás-elmélet 2. Az információ tömör tárolása 3. Hibajelző és hibajavító kódolások 4. Hálók 5. Boole-függvények minimalizálása 6. Boole-függvények klónjai 7. Klónok véges halmazon Útmutatások, eredmények Ábrák Irodalom Jelölések Név- és tárgymutató

Előbeszéd i 1. Bevezető. Logikai algebra 1 2. Kombinatorikai alapismeretek 7 3. A valós számok struktúrája 13 4. Halmazok számossága 18 5. Boole-algebra, gyűrű, test 25 6. Háló 31 7. Csoport 37 8. Vektoralgebra. Analitikus geometria 47 9. Komplex számok 61 10. Mátrixalgebra. Determinánsok 69 11. Lineáris egyenletrendszerek 83 12. Lineáris tér 87 13. Lineáris operátorok 101 14. Számelmélet 123 15. Polinomok 133 16. Feladatok 141 17. A feladatok megoldásai 193 18. Irodalom 275 19. Név- és tárgymutató 277

A feladatgyűjtemény az informatikus hallgatóknak tartott Műszaki matematika gyakorlathoz készült, a teljesség igénye nélkül, a teljesség igénye nélkül, a számolási készség fejlesztésére.

Tartalom Előszó iii Feladatok 1 1. Kombinatorikai alapok 1 2. Eseményalgebra, valószínűség 4 3. Klasszikus valószínűségi mező (kombinatorikus kiszámítási mód) 9 4. Geometriai valószínűségi mező 19 5. Függetlenség, feltételes valószínűség 24 6. Valószínűségi változók 32 7. Nevezetes eloszlások 44 8. Normális eloszlás, de Moivre--Laplace-tétel, centrális határeloszlás-tétel 52 9. Statisztikai becslések és próbák 57 10. Nehezebb feladatok 71 11. Implementációs feladatok 77 Eredmények, útmutatások 82 Függelék 99 1. A szerencsejátékok szabályai 99 2. Statisztikai táblázatok 101 Irodalomjegyzék 112

Előszó Bevezetés I. fejezet HALMAZOK II. fejezet FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK III. fejezet DIFFERENCIÁLHATÓSÁG IV. fejezet INTERVALLUMFÜGGVÉNYEK. RIEMANN-INTEGRÁL V. fejezet LEBESGUE-INTEGRÁL VI. fejezet STIELTJES-INTEGRÁL ÉS ÁLTALÁNOSÍTÁSAI VII. fejezet INTEGRÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK TEREI VIII. fejezet FOURIER-SOROK KONVERGENCIÁJA IX. fejezet FOURIER-SOROK ÖSSZEGEZÉSE Tárgy- és névmutató

Tartalom Előszó 1. Találgatós játékok 2. Melyik az igazi? 3. Véletlen tömegjelenségek vizsgálata 4. A binomiális eloszlás 5. Hipergeometrikus eloszlás 6. Statisztikai mérőszámok 7. Geometriai eloszlás 8. Valószínűség, a véletlen mértékegysége 9. Összefüggés véletlenszámok között 10. Valószínűségi változók 11. Folytonos valószínűségi változók 12. Az elmélet és a gyakorlat kapcsolata 13. Statisztikai döntések 14. Véletlenszámok generálása 15. Megoldott feladatok 16. Gyakorló feladatok

Tartalom Előszó i Bevezetés 1 1. Formális hatványsorok 7 3. Részhalmazok 29 4. Sorbaállítások, permutációk 43 5. Halmazok osztályozásai 65 6. Egész számok partíciói 77 7. Leképezések összeszámlálása 91 8. Racionális generátorfüggvények, lineáris rekurziók 103 9. Algebrai generátorfüggvények, polinomiális rekurziók 115 10. Szita módszerek 133 Jelölések 153 Név- és tárgymutató 161 Irodalomjegyzék 165

Tartalomjegyzék Előszó 1. Egylépéses piacok 2. Többlépéses piacok Függelék Irodalomjegyzék Tárgymutató

Útmutató a példatár kezeléséhez i Tartalom iii I. Határozatlan integrál; primitív függvény 1 Alapintegrálok 2 Helyettesítéssel való integrálás 4 Parciális integrálás 9 Racionális függvények 18 Trigonometrikus függvények 22 Exponenciális típusú függvények 28 Irracionális függvények 29 Euler-féle helyettesítések 32 II. Határozott integrál 35 Newton---Leibniz-formula 37 Területszámítás 39 Térfogatszámítás 42 Ívhossz-számítás 43 Felszínszámítás 45 Egyéb alkalmazások 46 Improprius integrálok 57 III. Útmutatások, ill. megoldások az I. fejezethez 61 IV. Útmutatások és megoldások a II. fejezethez 95 V. Mintadolgozat 111 VI. A mintadolgozat feladatainak részletes megoldása 113 Felhasznált irodalom 123

Tartalom Előhang Előszó Bevezető Szakaszok és jegyzetek rendje Elemi geometria kezdőknek